PRNU 和 DSNU
FPN（fixed pattern noise）可以分为 PRNU 和 DSNU，它本质上是指不同像素对于光的响应不同，比如同样是两个光子，像素 A 结果是 2，像素 B 结果是 3。一般直接用一次线性来模拟，也就是 y=kx+b，其中系数就叫做 PRNU，偏移叫做 DSNU。
有的时候会用 PRNU 同时表示这两个概念；有的时候则会用 FPN 单独表示 DSNU，反正这些很乱。
PRNU 噪声
模型分析
让我们来看一下 PRNU 对信噪比 SNR 的影响，首先回顾之前的模型：
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I = L * g + n_{add}
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其中 I 是像素值，L 是光子数，g 是增益，n_{add} 是加性噪声。此时期望和方差分别为：
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\begin{aligned}
E(I) &= L * g \
V(I) &= L * g^2 + \sigma_{add} \
\end{aligned}
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但是上面这个模型是对于单独一个像素而言，每个像素那么就有所不同，所以需要加上下标：
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I(p) = L * g_p + n_{add} + b_p
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其中 b(p) 就是 DSNU；现在我们把 g(p) 拆成两个部分，即平均值加上一个偏差：
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\begin{aligned}
I(p) &= L * (\bar{g} + k_p) + n_{add} + b_p \
&= L * \bar{g} + L * k_p + n_{add} + b_p \
\end{aligned}
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其中 \(E(k_p) = 0\)
计算
此时对于一个图像而言，注意：这个时候时间凝固了，我们只看到一副空间上的图像。也就是我们看到的图像 I 是有多个分布不同的像素组合而来。
此时这是一个混合模型问题，即属于 A 类的变量有自己的分布情况，属于 B 类的变量有另外的分布情况，属于 C 类的变量又有另外的分布情况...
为了便于计算，我们不考虑 DSNU，即舍弃了 b(p) 这一项。不然后面计算会相当复杂。
期望很好计算，能从定义中推出是一个加权平均，而我们这里加权又是均匀的：
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\begin{aligned}
E(I) &= (E(I_1) + ... + E(I_N)) / N \
&= L * \bar{g} + L * E(k_p) + E(n_{add}) \
&= L * \bar{g}
\end{aligned}
$
方差涉及到组内方差和组间方差，这里先给出最终结果：
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V(I) = L * \bar{g}^2 + L * \sigma_{PRNU}^2 + \sigma_{add}^2 + L^2 * \sigma_{PRNU}^2
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其中 \(\sigma_{PRNU}^2\) 的定义如下，可以把他想象成各个系数的波动情况：
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\begin{aligned}
\sigma_{PRNU}^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (k_i^2)
\end{aligned}
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方差推导过程
其中：
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\begin{aligned}
\mu &= L * \bar{g} \
\mu_i &= L * (\bar{g} + k_i) \
\sigma_i^2 &= L * (\bar{g} + k_i)^2 + \sigma_{add}^2 \
\end{aligned}
$
所以：
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\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{N} p_i \sigma_i^2
&= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (L * (\bar{g} + k_i)^2 + \sigma_{add}^2) \
&= \frac{L}{N} \sum_{i=1}^{N} (\bar{g}^2 + 2 * \bar{g} * k_i + k_i^2) + \sigma_{add}^2 \
&= L * \bar{g}^2 + \frac{2L\bar{g}}{N} * \sum_{i=1}^{N}(k_i) + \frac{L}{N} \sum_{i=1}^{N}(k_i^2) + \sigma_{add}^2 \
&= L * \bar{g}^2 + 0 + 2L * \sigma_{PRNU}^2 + \sigma_{add}^2 \
\end{aligned}
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\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{N} p_i (\mu_i - \mu)^2
&= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (L * (\bar{g} + k_i) - L * \bar{g})^2 \
&= \frac{L^2}{N} \sum_{i=1}^{N} (k_i^2) \
&= L^2 * \sigma_{PRNU}^2 \
\end{aligned}
$
所以最终方差为：
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V(I) = L * \bar{g}^2 + 2L * \sigma_{PRNU}^2 + \sigma_{add}^2 + L^2 * \sigma_{PRNU}^2
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结果分析
现在我们来看一下 SNR：
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\begin{aligned}
SNR &= \frac{E(I)}{\sqrt{V(I)}} \
&= \frac{L * \bar{g}}{\sqrt{L * \bar{g}^2 + L * \sigma_{PRNU}^2 + \sigma_{add}^2 + L^2 * \sigma_{PRNU}^2}} \
\end{aligned}
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假设我们把 \(σ_{add}\) 忽略掉，当 L 很大的时候，二次项占据主导：
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\begin{aligned}
SNR &= \frac{L * \bar{g}}{\sqrt{L * \bar{g}^2 + L * \sigma_{PRNU}^2 + L^2 * \sigma_{PRNU}^2}} \
&< \frac{L * \bar{g}}{\sqrt{L^2 * \sigma_{PRNU}^2}} \
&= \frac{\bar{g}}{\sigma_{PRNU}}
\end{aligned}
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所以 PRNU 能够限制 SNR 的上限，也就是说无论光子数 L 多大，SNR 都不会超过某个值。当然这里前提是 L 足够大，才能让二次项占据主导地位。因为相机有饱和阈值，所以一般而言，不会到 PRNU 占据主导地位的情况。
对标定的影响
没啥影响，标定的时候做了平均值已经把 PRNU 给平均掉了，所以标定的结果是一个平均值，不受 PRNU 的影响。
PRNU 和 DSNU 的标定
要采集很多暗场图，然后对每个像素单独计算即可。
参考资料
- 简单看了这篇文章，但总体这篇文章写的不好：https://zhuanlan.zhihu.com/p/363366030